Differentialekvationer för en (förenklad) lastbrygga

tlp

2015-10-05 15:57:11 UTC

view on stackexchange narkive permalink

Jag har problem med att beräkna differentialekvationerna för en förenklad lastbrygga.

Systemet är uppbyggt enligt bilden nedan (bara en skiss):

Om jag använder Newton-metoden får jag följande ekvationer genom att försumma friktion, luftmotstånd och förändringar i repets längd:

$ $ m_k \ ddot {x} _ {k} = F_ {A} + F_ {S} \ sin (\ varphi) \\ m_G \ ddot {x} _ {G} = -F_ {S} \ sin (\ varphi ) \\ m_G \ ddot {z} _ {G} = m_ {G} g - F_ {S} \ cos (\ varphi) $$

När jag tittar på kinematiska förhållanden från griparen ( cirkeln med vikten $ m_G $) Jag får följande ekvationer.

$$ x_ {G} = x_ {k} + l \ sin (\ varphi) \\ z_ {G} = l \ cos (\ varphi) \\\ varphi = \ omega t = \ dot {\ varphi} t $$

Jag vet vikterna $ m_k $ och $ m_G $ och längden $ l $ men värdena är inte viktiga just nu.

Målet är att ha två differentialekvationer i slutet. En ekvation ska visa förhållandet mellan drivkraften $ F_A $ och banans vagn $ x_k $ (med avledningar) Den andra ekvationen ska visa förhållandet mellan drivkraft $ F_A $ och linans vinkel $ \ varphi_G $.

Därefter vill jag göra överföringsfunktionerna (Laplace-transformation etc.) men det är inte problemet.

Problemet är att jag inte kan hitta dessa ekvationer. Mitt bästa tillvägagångssätt hittills ser ut så här:

$$ m_ {k} \ ddot {x} _ {k} = F_ {A} + F_ {S} \ sin (\ varphi) $$

Så det betyder att

$$ m_G \ ddot {x} _ {G} = -F_ {S} \ sin (\ varphi) \\ F_ {S} \ sin ( \ varphi) = -m_ {G} \ ddot {x} _ {G} \\ $$

Jag kan säga:

$$ m_ {k} \ ddot {x } _ {k} = F_ {A} - m_ {G} \ ddot {x} _ {G} \\ $$

och om jag får $ x_ {G} $ så här:

$$ x_ {G} = x_ {k} + l \ sin (\ varphi) \\\ dot {x} _ {G} = \ dot {x} _ {k} + l \ dot { \ varphi} \ cos (\ varphi) \\\ ddot {x} _ {G} = \ ddot {x} _ {k} + l \ left [\ ddot {\ varphi} \ cos (\ varphi) - \ dot {\ varphi} ^ {2} \ sin (\ varphi) \ höger] $$

Jag fastnar faktiskt här eftersom jag inte kan hitta ett sätt att eliminera $ \ varphi $ från ekvationerna. Tilläggssatserna hjälper mig inte alls (eller använder jag dem korrekt).

Har någon en uppfattning om hur jag ska fortsätta just nu? Jag hoppas att jag inte behöver en komplett lösning . Jag är faktiskt mer intresserad av att göra detta själv och hoppas få ett tryck mot rätt riktning.

Kinematik och dynamik

Det här är stegen för att lösa sådana problem.

Analysera systemets kinematik.

$ \ hspace {5.em} $ $ _ {o} \ vec {r} _ {OP} $ = $ _ {o} \ vec {r} _ {OR} $ + $ _ {o} \ vec {r} _ {RP} $

$ \ hspace {5.em} $ $ _ {o} \ vec {r } _ {OP} $ = $ _ {o} \ vec {r} _ {OR} $ + $ R (\ varphi) _ {B} \ vec {r} _ {RP} $

$ \ hspace {5.em} $ $ _ {o} \ vec {r} _ {OP} $ = $ \ big (x_ {k} î + 0j + 0k \ big) $ + $ \ big (\ sin ( \ varphi) l î + 0j + \ cos (\ varphi) lk \ big) $

$ \ hspace {5.em} $ $ _ {o} \ vec {r} _ {OP} $ = $ \ big [\ big (x_ {k} + \ sin (\ varphi) l \ big) î + 0j + \ big (\ cos (\ varphi) l \ big) k \ big] $

not: $ R (\ varphi) $ är en rotationsmatris och $ x_ {G} = x_ {k} + \ sin (\ varphi) l $.

Tar tidsderivaten:

$ \ hspace {5.em} $ $ \ dot {x_ {G}} $ = $ \ dot {x_ {k}} + \ cos (\ varphi) \ dot {\ varphi} l $

$ \ hspace {5.em} $ $ \ ddot {x_ {G}} $ = $ \ ddot {x_ {k}} + l \ cos (\ varphi) \ ddot {\ varphi} - l \ sin (\ varphi) \ dot {\ varphi} ^ {2} $

Använd Newtons ekvation:

ol>

$ \ hspace {5.em} $ $ m_ {k} \ ddot {x_ {k}} = F_ {A} - m_ {G} \ ddot {x_ {G}} $

Ersätt $ x_ {G} $:

$ \ hspace {5.em} $ $ m_ {k} \ ddot {x_ {k}} = F_ {A} - m_ {G} \ big (\ ddot {x_ {k}} + l \ cos (\ varphi) \ ddot {\ varphi} - l \ sin (\ varphi) \ dot {\ varphi} ^ {2} \ big) $

$ \ hspace {5.em} $ $ \ big (m_ {k} + m_ {G} \ stor) \ ddot {x_ {k}} + m_ {G} \ big (l \ cos (\ varphi) \ ddot {\ varphi} \ big) - m_ {G} \ big (l \ sin (\ varphi) \ punkt {\ varphi} ^ {2} \ big) = F_ {A} $

För z-axeln:

$ \ hspace {5.em} $ $ F_ {Z } $ = $ m_ {G} gl \ big (\ cos (\ varphi) \ dot {\ varphi} ^ {2} + \ sin (\ varphi) \ ddot {\ varphi} \ big) $

Använd Newtons andra lag för rotation:

$ \ hspace {5.em} $ $ I \ ddot {\ varphi} $ = $ F_ { Z} l \ sin (\ varphi) - \ big (m_ {G} \ ddot {x_ {G}} \ big) l \ cos (\ varphi) $

$ F_ {Z} l \ sin (\ varphi) = m_ {G} gl \ sin (\ varphi) -l ^ {2} \ big (\ cos (\ varphi) \ sin (\ varphi) \ dot {\ varphi} ^ {2} + \ sin (\ varphi) ^ {2} \ ddot {\ varphi} \ big) $

$ \ big (m_ {G} \ ddot {x_ {G}} \ big) l \ cos (\ varphi) = m_ {G} \ big (l ^ {2} \ cos (\ varphi) ^ { 2} \ ddot {\ varphi} \ big) - m_ {G} \ big (l ^ {2} \ cos (\ varphi) \ sin (\ varphi) \ dot {\ varphi} ^ {2} \ big) + m_ {G} \ ddot {x_ {K}} l \ cos (\ varphi) $

Använda trigonometri-identiteter:

$ \ hspace {5.em} $ $ \ big (I + m_ {G} l ^ {2} \ big) \ ddot {\ varphi} $ = $ m_ {G} gl \ sin (\ varphi) -m_ {k} l \ cos (\ varphi) \ ddot { x_ {k}} $

Klar! Nu kan du vila ... $ \ ddot \ smile $