Tänk på en enkel struktur som en balk, platta, ... Antag att du vet hur man bestämmer de olika vibrationssätten i strukturen. Du får en extern ingång, till exempel en kraft eller ett ögonblick på en viss plats. Hur kan du sedan bestämma vilka lägen som kommer att bli glada hur mycket? (Bara en allmän fråga, jag överväger inte ett specifikt fall.)
Det sättet att svara på denna fråga är att förvandla dynamikmodellen till modala koordinater och se vad som händer med kraftuttrycket.
Antag att vi kan beskriva strukturens styvhet och massaegenskaper som matriser $ \ mathbf K $ och $ \ mathbf M $, och dess förskjutning som en vektor $ \ mathbf x $, i ett fysiskt koordinatsystem, och vi tillämpar en vektor av krafter som varierar sinusformigt i tiden, $ \ mathbf F e ^ {i \ omega t} $ till strukturen.
Systemets rörelseekvation är då $$ (\ mathbf K - \ omega ^ 2 \ mathbf M) \ mathbf xe ^ {i \ omega t} = \ mathbf Fe ^ {i \ omega t} $$
Vi kan avbryta $ e ^ {i \ omega t} $ villkoren och minska detta till $$ (\ mathbf K - \ omega ^ 2 \ mathbf M) \ mathbf x = \ mathbf F $$ (Obs! Jag ignorerar dämpning för att göra saker lite enklare - att göra det påverkar inte den slutliga slutsatsen).
Vi kan hitta systemets normala lägen och skriva egenvektorerna som en matris $ \ mathbf \ Phi $.
Vi kan skriva förskjutningarna $ \ mathbf X $ som en linjär kombination på av egenvärdena, dvs $ \ mathbf X = \ mathbf \ Phi \ xi $ där $ \ xi $ är en vektor.
Ersätt det i rörelseekvationen och förför multiplicera båda sidorna med $ \ mathbf \ Phi ^ T $ och vi får $$ \ mathbf \ Phi ^ T (\ mathbf K - \ omega ^ 2 \ mathbf M) \ mathbf \ Phi \ xi = \ mathbf \ Phi ^ T \ mathbf F $$ eller $$ (\ mathbf \ Phi ^ T \ mathbf K \ mathbf \ Phi - \ omega ^ 2 \ mathbf \ Phi ^ T \ mathbf M \ mathbf \ Phi) \ xi = \ mathbf \ Phi ^ T \ mathbf F $$
Nu, om vi använder massnormaliserade egenvektorer, vet vi att $ \ mathbf \ Phi ^ T \ mathbf M \ mathbf \ Phi $ är en enhetsmatris och $ \ mathbf \ Phi ^ T \ mathbf K \ mathbf \ Phi $ är en diagonal matris av egenvärdena i kvadrat. Så matrisekvationen blir en uppsättning skalära ekvationer, och för $ i $ th-läget har vi $$ (\ omega_i ^ 2 - \ omega ^ 2) \ mathbf \ xi_i = \ mathbf \ Phi_i ^ T \ mathbf F $$
Att översätta den ekvationen till ord svarar på OP: s fråga: För varje läge tar du skalärprodukten för varje egenvärde med de applicerade krafterna för att hitta "modalkomponenten i kraften" (dvs. höger sida av den slutliga ekvationen ), och därifrån kan du hitta den relativa amplituden för det läget (dvs. $ \ xi_i $).
I många fall använder vi bara en kraft för en enda grad av strukturens frihet. Då är resultatet ganska intuitivt - det finns två effekter som är relevanta när de tas ihop:
Tittar på den högra sidan av den slutliga ekvationen, lägen som kommer att bli mest upphetsade är de med de största förskjutningarna vid den punkt där kraften appliceras .
Tittar på vänster sida av samma ekvation, De lägen som kommer att bli mest upphetsade är de vars naturliga frekvenser ligger nära tvångsfrekvensen .
För det första kommer att använda en konstant belastning inte några lägen. Du behöver en tidsvarierande belastning för att framkalla vibrationer (t.ex. vind, seismik, sprängning). Vilka lägen som är glada beror på frekvensinnehållet för den applicerade laddningen.
För ett statiskt problem kan du bestämma förskjutningarna av en struktur med endast krafter och styvhet i strukturen med hjälp av statiska ekvationer för textböcker:
$ F_ {normal} = K \ Delta \\ M_ {böjning} = EI \ phi \\ T_ {torsion} = GJ \ psi $
Observera att ingen av dessa ekvationer beror på tid. För de flesta problem inom civilingenjör är lasttillämpningen så långsam att tröghetskrafterna är mycket små jämfört med andra krafter, så de försummas (ungefär från vind- och jordbävningslaster som ofta kräver dynamisk analys).
Vibrationslägena för en struktur kräver dynamisk analys, så de beror inte bara på strukturens styvhet, utan beror också på dess viktfördelning och i mindre utsträckning på att den dämpar. För att bestämma vibrationssätten för en struktur måste du veta åtminstone dess styvhet och dess massa (och hur den fördelas). Det enklaste exemplet är en massa M på hjul bundna till en horisontell fjäder av stelhet K. Den naturliga frekvensen för detta system skulle vara:
$$ f = 2 \ pi \ sqrt \ frac {K} M $ $
Observera här att för att få den naturliga frekvensen för systemet, behövde inga externa belastningar tillämpas. Eftersom vårt fall i enkelriktad riktning är det ganska enkelt att ta reda på vilken väg en extern belastning måste gå för att excitera vår struktur (vid den beräknade frekvensen förstås).
För mer komplexa fall fördelas massan vanligtvis (snarare än punktlig) och styvheten är ofta vid böjning, skjuvning och vridning utöver axiell. För dessa mer komplexa fall kommer vi vanligtvis också att arbeta med mer än en grad av frihet, så du kommer att ha flera ekvationer med flera variabler att lösa (vanligtvis med ändliga elementanalyser). När du använder ändliga elementanalyser kommer din massa att representeras som en matris M av n av n element och din styvhet av en matris K av n av n element, där n är ditt antal frihetsgrader. Med hjälp av egenvärden kan vi lösa en ekvation som liknar den ovan för att få n vibrationssätt och n naturliga frekvenser.
Varje vibrationsläge i kombination med dess naturliga frekvens ger dig information om hur du laddar varje grad frihet om du vill uppnå resonans. Varje annan laddning med någon annan frekvens kommer inte att excitera ett läge ensamt, så du kan bara känna till vilket annat systems beteende med mer komplexa beräkningar.