$ F = \ frac {dp} {dt} $ är i viss mening ett mer grundläggande uttryck för Newtons lag än $ F = ma $ eftersom $ F = ma $ inte tillåter situationer med massändring. Du kan enkelt hämta den andra från den förra genom att använda $ p = mv $ vilket ger $ F = m \ frac {dv} {dt} = ma $.

Din fråga verkar handla mer om hur man härleder uttrycken för kraften vid gränsen till det hydrauliska hoppet. För att göra detta, tänk på det hydrauliska hoppet som en vägg; på ena sidan av väggen är vattenhöjden $ h $ och på den andra är det $ H $.

Tänk nu på ett oändligt stort kvadrat i denna vägg på djup $ x $; trycket som utövas på denna kvadrat ges av $$ P = \ rho \ g \ x. $$ Kraften som utövas på kvadraten beräknas genom att multiplicera med ytan på det oändliga plåstret $$ F_ {inf} = \ rho \ g \ x \ dx \ dy. $$ Nu behöver du bara summera (med integration) alla plåster på väggen. Y-riktningen är enkel $$ \ begin {align} F_ {tot} & = \ rho \ g \ int_ {0} ^ {h} \ left (\ int_0 ^ {2 \ pi R} dy \ right) xdx \\ & = \ rho \ g \ 2 \ pi R \ int_0 ^ {h} x dx \\ & = \ pi R \ \ rho \ g \ h ^ 2 \ end {align} $$